Как решить задачу на вероятность для двузначных чисел

Задача «Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что это число не делится на 9» является классическим примером из курса теории вероятностей. Она проверяет понимание основ комбинаторики и определения вероятности в классической схеме Лапласа. Давайте разберём её решение шаг за шагу.

1. Определяем пространство элементарных исходов

Первым делом нужно понять, сколько всего существует двузначных чисел. Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, можно использовать простую формулу:

Количество чисел от A до B включительно = B - A + 1.

Таким образом:

  • Наименьшее двузначное число (A) = 10
  • Наибольшее двузначное число (B) = 99
  • Общее количество двузначных чисел (N) = 99 - 10 + 1 = 90.

Это означает, что всего есть 90 равновозможных исходов при случайном выборе одного двузначного числа.

2. Находим числа, которые ДЕЛЯТСЯ на 9

Следующий шаг — определить, сколько среди этих 90 чисел таких, которые делятся на 9 без остатка (кратны 9). Это будут числа, которые являются членами арифметической прогрессии с разностью 9.

Найдём первое и последнее двузначное число, кратное 9:

  • Первое двузначное число, делящееся на 9: 18 (так как 9*2=18).
  • Последнее двузначное число, делящееся на 9: 99 (так как 9*11=99).

Теперь найдём количество членов этой прогрессии. Формула n-го члена прогрессии: a_n = a_1 + d*(n-1), где d = 9.

Подставим последний член: 99 = 18 + 9*(n-1). Решаем уравнение:

  1. 99 - 18 = 9*(n-1)
  2. 81 = 9*(n-1)
  3. n - 1 = 81 / 9 = 9
  4. n = 10

Таким образом, существует 10 двузначных чисел, делящихся на 9. Это числа: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.

3. Применяем классическое определение вероятности

Классическая вероятность события A вычисляется по формуле:

P(A) = m / n,

где n — число всех равновозможных исходов (всех двузначных чисел = 90), а m — число исходов, благоприятствующих событию A.

В нашей задаче есть два пути решения. Можно найти вероятность события B = «число делится на 9», а затем вычесть её из 1, так как событие «не делится на 9» является противоположным событию B.

Вариант 1: Прямой расчёт

Событие A = «число не делится на 9». Количество благоприятных исходов m = Общее количество чисел (90) минус количество чисел, делящихся на 9 (10).

m = 90 - 10 = 80.

Тогда P(A) = m / n = 80 / 90 = 8/9.

Вариант 2: Через вероятность противоположного события

Событие B = «число делится на 9». P(B) = 10 / 90 = 1/9.

Событие A = «число НЕ делится на 9» является противоположным к B: A = не-B.

Вероятность противоположного события: P(A) = 1 - P(B) = 1 - 1/9 = 8/9.

4. Окончательный ответ

Вероятность того, что случайно задуманное двузначное число не делится на 9, равна 8/9.

Это число можно также представить в виде десятичной дроби ≈ 0.8889 или в процентах ≈ 88.89%.

5. Проверка и логика

Ответ выглядит логичным. Среди всех двузначных чисел лишь каждое девятое (10 из 90) кратно 9. Соответственно, шанс «не попасть» в эту одну девятую часть составляет восемь девятых. Такой подход — нахождение количества благоприятных исходов через вычитание неблагоприятных из общего числа — часто упрощает решение задач на вероятность.

Обобщение метода

Данная задача демонстрирует универсальный алгоритм решения подобных вероятностных задач с конечным числом равновозможных исходов:

  1. Определить общее число всех возможных исходов (n).
  2. Определить число исходов, благоприятных для данного события (m). Иногда проще найти число неблагоприятных исходов и вычесть их из общего числа.
  3. Применить формулу P = m / n.

Этот метод применим к задачам вида «вероятность, что число не делится на K», «вероятность, что число чётное» и многим другим в рамках дискретной математики.