Что это за задача?

Задача «В 5 классе 12 мальчиков, что составляет 3/7 учащихся класса. Сколько девочек в этом классе?» — это классическая текстовая задача из курса математики 5-6 классов. Её цель — проверить умение работать с обыкновенными дробями, понимание связи части и целого, а также навыки решения практических задач в два действия. Подобные задания регулярно включаются в материалы Всероссийских проверочных работ (ВПР), так как охватывают ключевые арифметические понятия.

Суть и математическая модель

В основе задачи лежит простая математическая модель: известна часть (12 мальчиков) и известна доля, которую эта часть составляет от целого (3/7). Требуется найти целое (общее количество учащихся), а затем вторую часть (количество девочек). Это стандартная задача на нахождение числа по его дроби.

Формула для нахождения целого по известной части и её доле: Целое = Часть : Доля.

Виды и классификация подобных задач

Задачи на дроби и части можно классифицировать по типу искомого:

  1. Нахождение числа по его дроби (как в нашем случае). Дана часть и её дробь. Нужно найти целое. Пример: «3/7 класса — это 12 человек. Сколько всего учеников?»
  2. Нахождение дроби от числа. Дано целое и дробь. Нужно найти часть. Пример: «В классе 28 человек. Сколько составляют 3/7 от этого числа?»
  3. Комбинированные задачи (в два и более действий). Как разновидность нашей задачи, где после нахождения целого требуется выполнить ещё одно действие (сложение, вычитание, сравнение).
  4. Задачи на совместную работу или движение, где также используются понятия части от целого, но в более сложном контексте.

Пошаговое решение задачи

Разберём два основных способа решения.

Способ 1: Алгебраический (через уравнение)

Это самый наглядный и строгий способ.

  1. Пусть x — общее количество учащихся в классе.
  2. По условию, 3/7 от x равны 12. Составляем уравнение:
    (3/7) * x = 12
  3. Находим x:
    x = 12 : (3/7) = 12 * (7/3) = (12 * 7) / 3 = 84 / 3 = 28.
    Значит, всего в классе 28 учащихся.
  4. Находим количество девочек: из общего числа вычитаем мальчиков.
    28 - 12 = 16 девочек.

Способ 2: Арифметический (через нахождение одной части)

Этот способ часто более понятен школьникам.

  1. Если 3/7 — это 12 мальчиков, то сначала найдём, чему равна 1/7 часть класса.
    Для этого 12 делим на 3: 12 / 3 = 4 человека (это 1/7 часть класса).
  2. Чтобы найти целое (7/7), умножим значение одной части на 7:
    4 * 7 = 28 учащихся всего.
  3. Найдём долю девочек: если мальчики — 3/7, то девочки — оставшиеся 4/7 (так как 7/7 - 3/7 = 4/7).
  4. Найдём количество девочек: 4/7 от 28. Умножим значение одной части (4 человека) на 4 (доли девочек): 4 * 4 = 16 девочек. Или: 28 - 12 = 16.

Ответ: в классе 16 девочек.

Где встречается такая задача?

Подобные задачи — неотъемлемая часть школьного образования и проверочных мероприятий:

  • ВПР (Всероссийские проверочные работы) по математике в 5 и 6 классах. Задачи на дроби и проценты — один из ключевых блоков.
  • Школьные учебники и рабочие тетради по математике для 5-6 классов (например, авторов Виленкина, Мерзляка, Дорофеева).
  • Вступительные работы и диагностические тесты в некоторые лицеи и гимназии.
  • ОГЭ по математике в 9 классе в более простых заданиях первой части, хотя там задачи, как правило, сложнее.

Понимание принципа решения таких задач формирует базу для работы с процентами, пропорциями и более сложными математическими моделями в будущем.

Итог

Задача «12 мальчиков — это 3/7 класса» является отличным тренировочным упражнением. Она учит переводить условие из текстовой формы в математическую, работать с дробями и последовательно выполнять логические действия. Умение решать такие задачи — фундаментальный навык, который пригодится не только на ВПР, но и в дальнейшем изучении математики и в повседневной жизни при расчётах с долями и процентами.

Частые вопросы по теме

  1. Как понять, что задачу нужно решать через нахождение числа по его дроби? Ключевая фраза в условии — «составляет 3/7 от» или «это 3/7 всех». Если известна часть и указана её доля от целого, а само целое неизвестно — это именно такой тип задачи.
  2. Можно ли решить эту задачу через пропорцию? Да. Пропорция будет выглядеть так: 12 / x = 3 / 7, где x — общее число учеников. Решив пропорцию (x = 12 * 7 / 3), получим те же 28 человек.
  3. Что делать, если в условии вместо обыкновенной дроби (3/7) дана десятичная (например, 0.6) или процент (60%)? Принцип решения не меняется. С десятичной дробью: целое = часть / 0.6. С процентом: сначала перевести проценты в десятичную дробь (60% = 0.6) и действовать аналогично.
  4. Какая самая частая ошибка при решении таких задач? Самая распространённая ошибка — путать нахождение дроби от числа и числа по его дроби. Ученики часто пытаются умножить 12 на 3/7, а не делить. Важно чётко определять, что известно: целое или часть.
  5. Как проверить правильность ответа? Нужно убедиться, что найденное количество мальчиков (12) действительно составляет 3/7 от общего числа. Для этого найдите 3/7 от 28: (3/7) * 28 = 12. Если совпадает — решение верное.

Источники