Что представляет собой данная задача?

Перед нами классическая текстовая задача по геометрии, которая проверяет понимание связи между основными параметрами прямоугольника: длиной, шириной и периметром. Условие сформулировано так: «Ширина прямоугольника 42 см, что составляет 3/14 его периметра. Найдите длину этого прямоугольника». Это не абстрактное рассуждение о свойствах фигур, а конкретный математический пример, требующий применения формулы периметра и решения уравнения.

Характеристики и данные условия

Для успешного решения необходимо четко выделить исходные данные и искомую величину:

  • Ширина (b): 42 см. Это один из двух линейных размеров прямоугольника, обычно обозначаемый как меньшая сторона, хотя в условии это прямо не указано.
  • Отношение ширины к периметру: ширина составляет ровно 3/14 (три четырнадцатых) от периметра. Это ключевое соотношение, связывающее известную величину (ширину) с периметром.
  • Искомая величина: длина прямоугольника (обозначим её как a).
  • Формула периметра прямоугольника (P): P = 2 * (a + b) или P = 2a + 2b. Это фундаментальное знание, необходимое для решения.

Как решается эта задача: пошаговый алгоритм

Решение строится на последовательных логических и алгебраических действиях.

Шаг 1: Выразить периметр через ширину

Из условия известно, что ширина (b = 42 см) равна 3/14 от периметра (P). Это можно записать в виде уравнения:

b = (3/14) * P

Подставляем известное значение ширины:

42 = (3/14) * P

Шаг 2: Найти периметр прямоугольника

Чтобы найти P, нужно решить простое уравнение относительно P. Для этого умножим обе части уравнения на 14, а затем разделим на 3:

P = 42 * (14/3) = (42 * 14) / 3

Упрощаем вычисления: 42 / 3 = 14, следовательно:

P = 14 * 14 = 196 см.

Таким образом, мы установили, что полный периметр прямоугольника равен 196 сантиметрам.

Шаг 3: Выразить длину через формулу периметра

Вспоминаем стандартную формулу периметра для прямоугольника: P = 2a + 2b. Подставляем в неё теперь уже известные значения P и b:

196 = 2a + 2 * 42
196 = 2a + 84

Шаг 4: Решить уравнение и найти длину

Переносим известное слагаемое в правую часть:

196 - 84 = 2a
112 = 2a

Находим неизвестную длину (a):

a = 112 / 2 = 56 см.

Проверка решения и анализ результата

Любое хорошее решение требует проверки. У нас получилось: длина a = 56 см, ширина b = 42 см.

  • Находим периметр: P = 2 * (56 + 42) = 2 * 98 = 196 см. Это совпадает с найденным ранее значением.
  • Проверяем условие задачи: действительно ли ширина (42 см) составляет 3/14 от периметра (196 см)? Вычисляем: (3/14) * 196 = (3 * 196) / 14 = 588 / 14 = 42 см. Условие выполняется идеально.

Ответ: длина прямоугольника равна 56 сантиметрам.

Отличия от других типов задач на прямоугольники

Данная задача отличается от более распространённых формулировок. Чаще в условиях прямо даны и ширина, и длина, и просят найти периметр или площадь. Либо даны периметр и одна сторона, чтобы найти другую. Здесь же связь установлена через дробное отношение ширины к целому периметру, что добавляет задаче дополнительный шаг — нахождение самого периметра через это отношение. Это развивает навык работы с пропорциями и дробями в контексте геометрических формул.

Практическое значение и применение

Хотя задача выглядит абстрактной, лежащий в её основе принцип — нахождение неизвестных параметров фигуры через заданные соотношения — имеет широкое практическое применение. Например:

  • В строительстве и планировке: если известен расход материала на ограждение (аналог периметра) и задано соотношение сторон участка, можно вычислить его точные размеры.
  • В дизайне и производстве: при создании рамки, баннера или любого прямоугольного объекта, когда ограничение накладывается на общий контур (периметр), а одна из сторон жёстко задана технологически или эстетически.
  • В обучении: задача отлично тренирует комбинирование знаний — работа с дробями, решение уравнений и применение геометрических формул одновременно, что является основой для решения более сложных прикладных задач в физике, инженерии и информатике.

Таким образом, разобранная задача служит отличным упражнением для развития логического и математического мышления, демонстрируя, как абстрактные понятия длины, ширины и периметра взаимосвязаны в конкретном числовом примере.