Какова вероятность, что в двузначном числе есть цифра 3?

Вопрос, который задала Аня, является классической задачей из теории вероятностей и комбинаторики. Чтобы дать точный ответ, нужно последовательно определить все возможные исходы и благоприятные события.

1. Определение пространства элементарных событий

Двузначные числа — это числа от 10 до 99 включительно. Важно помнить, что число 009 или 09 не является двузначным. Первая цифра (десятки) может быть любой от 1 до 9, а вторая цифра (единицы) — любой от 0 до 9.

Общее количество всех возможных двузначных чисел можно подсчитать двумя способами:
1. Просто посчитать: от 10 до 99 — это 99 - 10 + 1 = 90 чисел.
2. Комбинаторно: на первую позицию 9 вариантов (1-9), на вторую — 10 вариантов (0-9). 9 * 10 = 90 чисел.

Таким образом, N = 90 — это общее число всех равновозможных элементарных исходов (загадать можно любое из этих 90 чисел с одинаковой вероятностью).

2. Определение благоприятных исходов

Нас интересуют числа, содержащие цифру 3. Это означает, что цифра 3 может стоять:
- на позиции десятков,
- на позиции единиц,
- или на обеих позициях одновременно (число 33).

Чтобы не ошибиться и не посчитать некоторые числа дважды, лучше использовать принцип подсчёта через дополнение или аккуратно сложить непересекающиеся группы.

Способ 1: Прямой подсчёт по группам

  • Группа A: Цифра 3 на месте десятков. Если десятки = 3, то единицы могут быть любыми от 0 до 9. Это числа: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. Всего 10 чисел.
  • Группа B: Цифра 3 на месте единиц, но десятки НЕ равны 3. Если единицы = 3, то десятки могут быть 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (все, кроме 3, чтобы не пересечься с группой A). Это числа: 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Всего 8 чисел.

Группы A и B не пересекаются (в группе A десятки всегда 3, в группе B — никогда). Число 33 уже учтено в группе A.

Следовательно, общее количество благоприятных исходов (чисел, содержащих хотя бы одну цифру 3) равно: M = 10 + 8 = 18 чисел.

Способ 2: Подсчёт через дополнение (более элегантный)

Иногда проще подсчитать числа, которые НЕ содержат цифру 3, и вычесть их из общего количества.

  1. На позицию десятков можно поставить любую цифру из {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (все, кроме 3). Это 8 вариантов.
  2. На позицию единиц можно поставить любую цифру из {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (все, кроме 3). Это 9 вариантов.

По правилу произведения, количество двузначных чисел БЕЗ цифры 3 равно: 8 * 9 = 72 числа.

Тогда количество чисел С цифрой 3: 90 (всех чисел) - 72 (без тройки) = 18 чисел. Результат совпал.

3. Расчёт вероятности

Вероятность события в классическом подходе определяется как отношение числа благоприятных исходов (M) к общему числу всех равновозможных исходов (N):

P = M / N = 18 / 90 = 1 / 5 = 0.2

Таким образом, вероятность того, что случайно загаданное Аней двузначное число содержит цифру 3, равна 0.2 или 20%.

4. Проверка и интерпретация результата

Можно мысленно проверить результат. Из каждых 10 десятков (10-19, 20-29 и т.д.) только один десяток (30-39) даёт сразу 10 чисел с тройкой. В остальных девяти десятках тройка встречается ровно по одному разу (в числе, где единица равна 3). Итого: 10 + 9 - 1 = 18 (минус один, потому что число 33 мы учли дважды в этой грубой схеме).

Ответ 20% выглядит логичным: цифра 3 встречается не так уж редко, но и не слишком часто. Стоит отметить, что аналогичным образом можно посчитать вероятность для любой другой цифры от 0 до 9, но для цифры 0 расчёт будет иным, так как она не может стоять на месте десятков в двузначном числе.

5. Обобщение задачи

Рассмотренная задача является отличным примером применения классического определения вероятности и базовых комбинаторных правил (правила суммы и произведения). Она помогает развивать навыки системного перебора и понимание важности аккуратного определения условий (что такое двузначное число, что значит «содержит цифру»).

На основе этой модели можно решать более сложные задачи, например:
- Какова вероятность, что число содержит хотя бы одну из двух цифр (например, 3 или 7)?
- Какова вероятность, что число состоит из двух разных цифр?
- Какова вероятность, что число является палиндромом?

Решение исходной задачи даёт чёткий и однозначный ответ: 1/5 или 20%.